May silbi ba ang mga numero?

Marami sa Pilipino ang takot sa matematika, takot sa numero, takot sa kalkulasyon. Pero may silbi nga ba ang mga bilang? Ang sagot dito ay isang malaking "OO", ngunit hindi natin ito sasagutin sa antas kumprehensibo. Tingnan lang muna natin ang isang sanga ng matematika na tinatawag sa Ingles na number theory o ang pag-aaral sa mga integer o buong bilang tulad ng isa, dalawa, tatlo, apat, at iba pa. Ang numero na 0.5, 1.2, 42.9, at 128.50 ay halimbawa ng mga bilang na hindi buo.

Photo source here

Sa ilalim ng number theory, pinag-aaralan ng matematiko ang iba't ibang katangian ng mga integers, kung paano sila nagsasama-sama sa pamamagitan ng apat na pangunahing proseso: pagdadagdag, pagbabawas, pagpapadami, at paghahati. Halimbawa, sinasagot nito ang tanong kung sa ilang paraan ba mahahati ang isang bilang, tanong na nagdadala sa mga matematiko sa konsepto ng prime numberso mga bilang na hindi na pwedeng hatiin pa tulad ng 2, 3, 5 at 7. Ang numerong 21 ay hindi prime dahil maaari pa itong hatiin sa 7 (kung saan magbibigay ito ng 3) o 3 (kung saan 7 naman ang ibibigay nito) – ang 7 at 3 ay parehong prime number. Samantala, ang numerong 43 ay matatawag na prime dahil walang ibang paraan ng paghati nito na magbibigay ng isa pang buong bilang. Sa bilang na 21, ang 7 at 3 ay tinatawag na mga divisor nito. Ang dalawang bilang na 7 at 3 ay may product na 7*3 = 21 kaya itong dalawa lang talaga ang divisor ng 21, wala ng iba. Kung hindi nahahati ng isang bilang ang mas malaking bilang, may kaakibat na remainder ang paghahati; halimbawa, kung hahatiin ang 43 sa 5, ito ay magbibigay ng remainder na 3.

Heto ang isang hamon sa mga mambabasa: ang numerong 2013 ba ay prime number? Kung hindi, anu-ano ang mga divisor nito?

Ngunit ano nga ba ang silbi ng mga pag-aaral na ito? Isang biro tungkol sa mga matematiko ay wag na wag mo silang tanungin kung ano ang aplikasyon o gamit ng kanilang ginagawa tulad ng hindi mo pwedeng tanungin ang isang babae kung ano ang kanyang edad. Pero ang birong ito ay mukhang hindi matatawag na isang biro pagdating sa mga number theorists o mga matematiko na ang espesyalisasyon ay number theory; sa mahabang panahon ay hindi kinakitaan ng gamit ang pag-aaral ng number theory maliban sa nagbibigay ito ng kasiyahan sa mga nag-aaral nito, na para bang ang pag-aaral nito ay isa lamang katuwaan o hobby lamang.

Ang number theory ay hindi masyadong binigyan ng pansin ng mga kapitalista hanggang sa naimbento ang modernong computers at ang pangangailangan ng pribado o sekretong mga komunikasyon. Andyan ang email, text message, pag-uusap sa telepono at iba pang mga palitan ng mensahe na kailangang pribado. Ang number theory ay may napakahalagang papel ngayon sa pagseseguro na ang mga long-distance o malalayong komunikasyon ay nakatago o pribado. Nagkaroon ng malaking papel ang number theory sa larangang kriptograpiya o ang agham ng pagtatago ng mga mensahe.

Hindi na natin palalalimin pa dito ang pagtalakay sa kriptograpiya dahil isa itong mahabang usapin. Titingnan lang natin ang isang sistema ng kriptograpiya na kung tawagin ay public-key cryptography sa pamamagitan ng isang pinasimpleng halimbawa. Sa cryptography, ang mensahe ay kailangan munang dumaan sa prosesong encryption bago ito lumipat mula sa sender (nagpadala) patungo sa receiver (pinadalhan). Ang sender ay gumagamit ng isang sistema ng pagbago o pag-encrypt ng orihinal na mensahe. Ang sistemang ito ay kailangang malaman ng receiver para makuha o ma-decrypt niya ang naka-encrypt na mensahe. Sa ngayon, ang sistemang ito ay naka-program na sa isang computer at ang password o susi na lang ang kailangang alamin ng sender at receiver.

Sa public-key cryptography, magkaiba ang password na ginagamit sa pag-encrypt (ang public key) sa password na ginagamit sa pag-decrypt (ang private key). Sa ganitong paraan, hindi kailangang malaman ng sender ang pribadong susi ng receiver at ang receiver lang ang nakakaalam nito para siya lang din ang makakakuha ng mensahe. Ang pampublikong susi naman ay, tulad ng katawagan nito, pampubliko; inaanunsyo ito ng receiver upang mapadalhan siya ng kahit sinuman ng mga encrypted na mensahe na siya lamang ang kayang magbukas. Sa ganitong paraan, hindi na kailangang mag-usap ang dalawang tao para itakda ang paraan at password ng pag-encrypt; kailangan lang nilang ipaalam ang kani-kanilang pampublikong susi. Ang dalawang susi ay magkaugnay sa isang espesyal na paraan ng sa ganoon ay walang magkaparehong pares ng public at private keys. Noong kalagitnaan ng dekada syetenta, may nadiskubre ang mga number theorists na katangian ng mga numero na magseseguro na napakahirap o imposibleng makuha ang pribadong susi mula sa pampublikong susi. Magbigay tayo ng isang pinasimpleng halimbawa ng RSA Algorithm na isang kilalang halimbawa ng public-key cryptography.

Para makabuo ng isang pares ng susi, pumili ng dalawang prime numbers, sabihin nating 11 at 43. Kompyutin ang bilang na A = 11*43 at B = (11-1)*(43-1); ang mga ito ay 473 at 420. Pumili ng isang bilang C na mas mababa sa B ngunit walang kaparehong divisor nito. Makikita na ang mga divisor ng 420 ay 2, 3, 5, 7, at mga product nila. Kaya piliin natin ang bilang na 13*17 = 221; mas mababa ito sa 420 at wala itong kaparehong divisor. Kumpleto na ang kailangang impormasyon para sa isang public-key encryption. Ang pampublikong susi ay ang dalawang bilang na A at C; sa halimbawang nabanggit, ito ang 473 at 221. Ang pribadong susi ay hahanapin pa at pinapaliwanag sa baba.

Para ma-encrypt ang mensahe, kailangan itong gawing mga numero na mas mababa sa A. Halimbawa, kung ang mensahe ay DAGDAG, maaari itong ipadala bilang anim na numero na (404,401,407,404,401,407) na parehong mas mababa sa 473. Ang encrypted na mensahe ay kokompyutin ng ganito, sa bawat numerong D ng mensahe: 1) kunin ang product ng D sa sarili nito ng C na beses; ito ay ang D*D*···*D (C na ulit). 2) kunin ang remainder kapag hinati ang product na ito sa A. Sa halimbawa, magkapareho ang magkasunod na numero sa mensahe kaya isang komputasyon lang ang kailangan. Ang product ng 404 sa sarili nito ng 221 na beses ay isang napakalaking bilang ngunit ang kailangan lang natin sa huli ay ang remainder ng napakalaking bilang na ito kapag ito ay hinati ng 473. Ang remainder ay 239. Para sa 401 at 407, ang remainder ay 225 at 319 sa parehong pagkakasunod; kaya ang ipapadalang mensahe ay ang anim na numerong (239, 225, 319, 239, 225, 319). Ito ay pinasimpleng halimbawa lamang at madali itong mahulaan dahil na rin sa mababang prime numbers na pinili natin, ang 11 at 43. Maliban sa pagpili ng napakalaking prime numbers, marami pang mga paraan ang napaunlad sa kriptograpiya para maiwasan ang ganitong mga kahinaan, ngunit hindi na natin ito tatalakayin dito.

Para makuha natin ang nakatagong mensahe, kailangan nating gamitin ang pribadong susi na makukuha sa sumusunod na paraan. Hanapin ang nag-iisang (unique) bilang na X na mas mababa sa B kung saan ang product nito sa C ay may kaakibat na remainder na 1 kung hahatiin sa B. Ang bilang na X ay 401 dahil ang product nito sa 221 na 221*401 = 88,621 ay may remainder na 1 kung hahatiin sa 420.

Kunin ang orihinal na mensahe ng ganito: kunin ang product ng bawat numero ng mensahe sa sarili nito ng X na beses at pagkatapos ay kunin ang remainder kapag hinati ito sa A. Ang 239*239*···*239 (401 na ulit) ay napakalaking bilang ngunit may madaling paraan para makuha ang remainder kapag hinati ang napakalaking bilang na ito sa 473. Ganun din sa 225 at 319. Syempre, ang remainder ay 404, 401, at 407 na nagbibigay ng mensahe na DAGDAG. Inaanyayahan ang mambabasa na gawin ang mga kalkulasyong nabanggit.

Ang kriptograpiya ay isang napakahalagang agham na binubuhosan ng napakalaking pondo ng malalaking kompanya ng panggyera o ang tinatawag na military-industrial complex. Ginagamit nila ito sa paniniktik tulad na lang ng isinawalat ni Edward Snowden na programa ng National Security Agency sa Estados Unidos, ang PRISM, kung saan binubuksan at binabasa nito ang lahat ng mga mensahe ng kahit sinong user ng malalaking kumpanya tulad ng Facebook, Google, Microsoft, atbp. Ang pagpapaunlad ng kriptograpiya ay dapat bigyan din ng sapat na suporta ng lahat ng gobyernong nais protektahan ang interes ng kanilang mamamayan lalo na sa pagpapanatili ng kanilang kalayaang-sibil.